Transformasi Lorentz

TUGAS FISIKA MODERN
Materi :
1. Tranformasi Kecepatan
2. Tranformasi Lorentz
3. Kontraksi Lorentz
Oleh :
Fetri Yusmaylantika Sari/ A1E007022
Nofriani / A1E007027
Wahyuni sartika / A1E007033
Riko/ A1E007010




TRANSFORMASI
A. Transformasi Galilei
Andaikan kita berada dalam kerangka acuan S yang memiliki koordinat kejadian S (x,y,z,t). pengamat berada pada kerangka acuan lain S’ (x’,y’,z’,t’) yang bergerak dengan kecepatan v . ditinjau arah kecepatan v adalah searah dengan hasil pengukuran x, y, z, t dengan x’, y’, z’, t’.

Jika waktu kedua sistem diukur dari saat ketika titik awal S dan S’ berimpit, pengukuran dalam arah x yang dilakukan di S akan melebihi yang di S’ dengan vt menyatakan jarak yang ditempuh S’ dalam arah x, sehingga :
x’=x-vt………………1
pada arah y dan z tidak terdapat gerak relative sehingga :
y’=y…………………2
z’=z…………………3
Dalam hal ini tidak terdapat indikasi yang bertentangan dengan pengalaman sehari-hari sehingga :
t’=t…………………..4
persamaan 1 sampai 4 dikenal sebagai transformasi galilei.

B. Transformasi kecepatan Galilei
Transformasi kecepatan galilei dapat diperoleh dengan deferensiasi x’, y’, dan z’ terhadap waktu.


C. Kegagalan transformasi Galilei
Selama transformasi Galilei dan transformasi kecepatan menghasilkan sesuatu yang cocok dengan ekspektasi intuisi kita, maka transformasi tersebut melanggar kedua postulat relativitas khusus. Postulat pertama mensyaratkan persamaan yang sama kedua persamaan fisis tersebut baki dalam kelistrikan dan kemagnetan memilki bentuk yang berbeda jika digunakan tranformasi Galilei untuk mengubah kuantitas yang terukur pada suatu kerangka acuan ke kuantitas yang setara dalam kerangka acuan lain. Postulat kedua mensyaratkan harga yang sama untuk kelajuan cahaya c baik dalam kerangka S maupun S’. jika dilakukan pengukuran kelajuan cahaya dalam arah x maka dalam system S adalah c, sedangkan dalam system S’ menjadi c’=c-v . bertolak dari dua kenyataan tersebut maka tranformasi Galilei gagal sebagai cara penggambaran gejala relativistic secara taat azaz.

D. Transformasi lorentz
Kaitan antara x dan x’ yang rasional adalah memenuhi :
x’=k (x-vt)……….8
dengan k menyatakan factor pembanding yang tak bergantung dari besaran x atau t tetapi dapat merupakan fungsi v. pemilihan persamaan 8 sebagai alternatif transformasi adalah didasarkan pada pertimbangan-pertimbangan sebagai berikut :
a. persamaan tersebut linear terhadap x dan x’, sehingga satu kejadian dalam kerangka S bersesuaian dengan kejadian tunggal dalam kerangka S’, seperti seharusnya.
b. Bentuk persamaan tersebut cukup sederhana, sehingga pemecahannya mudah dipahami.
c. Persamaan tersebut dapat direduksi menjadi bentuk persamaan 1 yang dapat dibuktikan kebenarannya dalam persamaan-persamaan mekanika klasik.
E. Transformasi balik untuk x
Berpijak pada postulat pertama relativitas khusus maka persamaan fisika harus berbentuk sama dalam kerangka S dan S’, sehingga kaitan x sebagai fungsi x’ dan t’ dapat dinyatakan dalam persamaan 9 :
x=k (x’+vt’)……………9
Sedangkan pada arah koordinat y’ dan z’ memenuhi persamaan :
y’=y……………………10
z’=z…………………….11

F. Transformasi t
Koordinat t dan t’ tidak sama, hal ini dapat dilihat dengan mensubstitusikan x’ yang diperoleh dari persamaan 8 ke 9 , diperoleh :

Dari persamaan 12 dapat diperoleh :

Persamaan 8, 10 hingga 13 merupakan transformasi koordinat yang memenuhi postulat relativitas khusus.

Penentuan faktor k:
Pada saat t=0 , titik asal kedua kerangka S dan S’ berada pada tempat yang sama. Menurut persamaan awal t’=0 juga dan pengamat pada masing-masing koordinat melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang menuju ke titik itu. Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c.
Dalam kerangka S :
x=ct………………..14
sedangkan dalam kerangka S’ :
x’=ct’………………15
substitusi x’ dan t’ pada persamaan 8 dan 13 ke persamaan 15 , dihasilkan :

Kemudian dihitung nilai x :

Rumusan x di atas sama dengan yang diberikan oleh persamaan 14 yaitu x=ct jika kuantitas dalam tanda kurung sama dengan satu, sehingga :

Akhirnya diperoleh nilai k :


G. Rumus transformasi lorentz
Dengan memasukkan nilai k ke dalam persamaan 8 diperoleh persamaan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian dalam kerangka S terhadap pengukuran yang sesuai yang dilakukan dalam kerangka S’ :


H. Persamaan transformasi lorentz balik
Untuk memperoleh persamaan transformasi balik dilakukan dengan mempertukarkan kuantitas beraksen dengan tanpa aksen dan mengganti v dengan –v sebagai berikut :


KONTRAKSI
Kontraksi lorentz
Pengukuran panjang seperti halnya pengukuran selang waktu juga dipengaruhi oleh gerak relative. Panjang L benda yang bergerak terhadap pengamat kelihatannya lebih pendek dari panjang Lo bila diukur dalam keadaan diam terhadap pengamat. Gejala ini dikenal sebagi pengerutan Lorentz. Panjang Lo suatu benda dalam kerangka diamnya disebut sebagai panjang proper.
Perhatikan sebatang tongkat berada dalam keadaan diam di S’ dengan satu ujung di x2’ dan ujung lain di x1’. Panjang tongkat dalam kerangka ini ialah panjang propernya Lo= x2’- x1’. Panjang tongkat dalam kerangka S didefinisikan sebagai L= x2- x1, dengan x2 merupakan posisi satu ujung pada suatu waktu t2 dan x1 dalam t1= t2 sebagaimana yang diukur di kerangka S.
Ingat persamaan :



Karena t1= t2 , diperoleh :